पुन्हा समीकरणे..
मुखपृष्ठ >> केजी टू कॉलेज >> पुन्हा समीकरणे..
 
ई-पेपर
 
 

लोकसत्ता ब्लॉग


संघाने काँग्रेसलासुद्धा मदत केली आहे!
पर्यावरण हा अडथळा नव्हे, तर निकोप विकासाचा पाया

गाण्यातील ‘साऊण्ड’चा आनंद अनुभवता आला पाहिजे

माणसं बदलण्यापेक्षा धोरणं बदला!

alt

सर्व काही अण्णांनीच करावे, असे लोकांना वाटणे हीच उणीव..

alt
कांद्याचा भाव शंभर रूपये किलो का नको?
 alt
पीडीएतील दिवस आणि अभिनयाचा श्रीगणेशा
 alt
दुर्बलांना पोसणे म्हणजे सबलीकरण नव्हे!
नक्कल करायलाही अक्कल लागते!
मेधा पाटकर यांचे ऐकले असते, तर एकही पूल
झाला नसता!
alt
‘नक्कल’ न करणे हाच बाळासाहेबांचा खरा
वारसा
पाच वर्षे प्रभावी सरकार
देऊ शकेल अशी पर्यायी
व्यवस्था मला दिसत
नाही!
एक तळमळ बोलकी
झाली
आनंदवनाच्या ‘प्रवाहा’त एकरूप आमटेंची तिसरी पिढी..
लोकांसाठी नव्हे ,
लोकांच्या सोबत...
एक गोष्ट आमच्याकडे शक्यतो होत नाही, ती म्हणजे ‘इ'लॉजिकल्’
बोलणं किंवा वागणं!
‘विचार’ निश्चित झाला
की शब्द आपोआप
सामोरे येतात
‘जमिनीचा पैसा
बिल्डरांना नाही, तर सरकारला मिळायला
हवा!’

दि.०९-११-२०१२ रोजी बाजार बंद झाला त्यावेळचा भाव



 

पुन्हा समीकरणे.. Bookmark and Share Print E-mail

शुक्रवार, १२ ऑक्टोबर २०१२

आज अशोक एक कोडं घेऊन आला होता. सगळे उत्सुकतेने ऐकू लागले. ‘‘दोन मित्र होते, एक आजारातून उठला होता, तर दुसरा नेहमी फिरायला जाणारा, व्यायाम करणारा होता.’’
बाई म्हणाल्या, ‘‘आपण त्यांना नावं देऊया का? म्हणजे जरा सोपं होईल.’’
‘‘आजारातून उठलेला सोहन आणि त्याचा मित्र मोहन!’’ हर्षांनं नावं देऊन टाकली.
‘‘ठीक आहे. सोहनला डॉक्टरांनी रोज थोडं फिरायला सांगितलं होतं, मग त्याच्या मित्रांनी ठरवलं की, सकाळी सात वाजता मोहन त्याच्या घरून सोहनच्या घराकडे जायला निघेल, तर सोहन त्यानंतर पंधरा मिनिटांनी मोहनकडे जायला निघेल. ते दोघे वाटेत भेटले, की दोघं सोहनच्या घरी येऊन कॉफी पितील, मग मोहन आपल्या घरी परतेल.’’
‘‘छान, म्हणजे मित्रांची भेट होईल, सोहनला फिरायला जायला कंपनी मिळेल.’’ मनीषा उद्गारली.
‘‘पण यात कोडं काय आहे?’’ शीतलने विचारले.
‘‘कोडं असं आहे, की मोहन ताशी ४ किलोमीटर वेगाने चालतो, सोहन ताशी ३ किलोमीटर वेगाने चालतो. मोहन घरी आल्यावर त्याच्या लक्षात आले, की तो एकूण फिरण्यात सोहनच्या चौपट अंतर चालला, तर त्या दोघांच्या घरातलं अंतर किती होतं?’’ अशोकने कोडं पूर्ण सांगितलं.
‘‘हे फारच कठीण दिसतंय, कसं काय करणार?’’ सतीश म्हणाला.
‘‘शोधायच्या गोष्टींसाठी अक्षर मानून समीकरण मांडायचं, होय ना?’’ शीतलने विचारले.
‘‘बरोबर, मग दोघांच्या घरातले अंतर क्ष मानूया?’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘मोहन तासाला चार किलोमीटर चालतो, तर तो पंधरा मिनिटांत एक किलोमीटर चालला आणि मग सोहन त्याच्या घरातून निघाला, दोघं किती अंतरावर भेटले असतील?’’ मनीषाने विचारले.
‘‘दोघांचा वेग वेगवेगळा आहे. मोहनचा ताशी ४ किलोमीटर, तर सोहनचा ताशी ३ किलोमीटर. म्हणजे सोहन ३क चालला, तर मोहन  ४ क चालतो. दोघांनी मिळून क्ष - १ एवढे अंतर कापले.’’ शीतल म्हणाली.
‘‘पण हे समीकरणात कसं लिहायचं? शिवाय ते क्ष च्या भाषेत कसं लिहायचं?’’ सतीशला प्रश्न पडला.
‘‘आता ३ क + ४ क = क्ष - १ आहे, म्हणून क ची किंमत     क्ष च्या भाषेत लिहूया.’’ अशोकने सुचवले.
मग क = (क्ष -१) / ७ असे उत्तर आले.
‘‘अजून क्ष ची किंमत काढायची आहे, पण समीकरण कुठे आहे?’’ मनीषाला प्रश्न पडला.
‘‘दिलेली माहिती नीट पाहून ती माहिती क्ष च्या समीकरणात मांडायला हवी.’’ बाईंनी सुचवले.
‘‘मोहन एकूण २ क्ष किलोमीटर चालला आणि सोहन
६ क किंवा ६ x (क्ष - १) / ७ किलोमीटर चालला. मोहन सोहनच्या चौपट चालला. म्हणून ४ x ६ x (क्ष- १) / ७ = २ क्ष  हे समीकरण बरोबर आहे ना?’’ शीतलच्या प्रश्नाला बाईंनी ‘‘हो, बरोबर, आता समीकरणं सोडवायचे नियम विसरला नाहीत ना?’’ असे विचारले.
‘‘दोन्ही बाजूंच्या वर समान क्रिया करत नवीन समीकरण मांडत सोडवायचं ना?’’ शीतलने विचारले.
‘‘पण इथे अपूर्णाक आहेत, कठीण दिसतंय,’’ असं सतीश म्हणाला, तेव्हा बाई
समजावू लागल्या, ‘‘फार कठीण नाहीये, पण आपण ते सोपं करून घेऊया. अपूर्णाक नको, तर दोन्ही बाजूंना ७ ने गुणायला येईल की! तूच ७ ने गुणून नवं समीकरण लिही.’’
मग सतीशने ४ x ६ x (क्ष - १) = १४ क्ष असे समीकरण लिहून ‘आता २ ने दोन्ही बाजूंना भागून आणखी सोपं करू,’ असं म्हणत ते
१२ (क्ष - १) = ७ क्ष , मग कंस सोडवून १२ क्ष - १२ = ७ क्ष म्हणून ५ क्ष = २४ व क्ष = २.४ किलोमीटर हे उत्तर शोधून दाखवले व शाबासकी घेतली.
‘‘समीकरण सोडवताना योग्य नियम वापरून आपणच ते सोपं करून घ्यावं, त्यात मूलभूत नियम हाच की, दोन्ही बाजूंच्या वर समान क्रिया केली पाहिजे.’’ बाई असं म्हणाल्यावर शीतल म्हणाली, ‘‘शिवाय तिरका गुणाकार शिकवलाय आम्हाला.’’
‘‘सांग बरं तो नियम,’’ असं सुचवताच तिने लिहून दाखवले. जर
A/ B   =  C/ D     तर तिरका गुणाकार करून
A X D = C X B,
असं समीकरण मिळतं, हे तिने सांगितलं.
‘‘पण हा नियमदेखील पहिल्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना  
B X D ने गुणलं, की मिळतो हे लक्षात आलं का? अर्थात बराच उपयोगी आहे, म्हणून तो वेगळा लक्षात ठेवावा.’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘आपण समीकरण सोडवताना - १२ हे डाव्या बाजूवरून उजवीकडे नेले, ७ क्ष उजव्या बाजूकडून डावीकडे नेले, तेव्हा चिन्ह बदलले हा नियमसुद्धा लक्षात ठेवायला हवा नाही का?’’ मनीषा म्हणाली.
‘‘होय, हा नियम लक्षात ठेवण्यासाठी समीकरणाचं मधलं = हे चिन्ह म्हणजे चिन्ह बदलाचा पूल आहे असं ध्यानात ठेवावं, कारण कुठलंही पद या पुलावरून पलीकडे नेताना त्याचं चिन्ह बदलावं लागतं.’’ अशोकने सुचवलं.
‘‘छान, हे लक्षात ठेवायला मदत करेल. हा नियमदेखील आपल्या पहिल्या नियमातून मिळतो. -१२ हे डावीकडून उजवीकडे नेणे म्हणजेच दोन्ही बाजूंना १२ मिळवणे हे लक्षात आलं का? तसं केलं, की डाव्या बाजूला -१२ +१२ मिळून शून्य होतात, तर उजवीकडे १२ मिळवले जातात, पण हीच क्रिया -१२ डावीकडून उजवीकडे नेले व त्याचे उजवीकडे +१२ झाले अशी सांगता येते.’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘एकदा समीकरण मांडलं आणि ते सोडवण्याचे नियम लक्षात ठेवले, की ते सोडवणं
अवघड नाहीये, पण समीकरण मांडणं कठीण दिसतंय.’’ मनीषा म्हणाली.
‘‘होय, ते जरा अवघड आहे, पण सावकाश विचार करत, अक्षराचा उपयोग करून दिलेली माहिती गणिती भाषेत लिहायची सवय करावी. सुरुवातीला वेळ लागला तरी चालेल, माहिती अचूकपणे समीकरणात आली पाहिजे. सराव हवाच. मग काही अवघड नाही. नाही तरी कुठलीही गोष्ट पटापट व अचूक करायला भरपूर सराव लागतोच ना? कुठलाही खेळ, पोहणं, सायकल चालवणं, गायन, वादन, किंवा नृत्य यांसारखी कला हे सरावाशिवाय चांगलं येतं का?’’ बाईंचं बोलणं पटलं सगळ्यांना.  

 

व्हिडिओ

लाउडस्पीकर  
'महागाई' या विषयावरील चर्चा
blk
आयडिया एक्स्चेंज  
जेष्ठ नाट्यकर्मी विजया मेहता
blk
व्हिवा लाऊंज  
डॉ. रश्मी करंदीकर - पोलीस अधीक्षक (राज्य महामार्ग)
blk
सागर परिक्रमा - २  
‘नौदलवीरा’च्या साहसी प्रवासाला सुरूवात!
लोकसत्ता युट्युब चॅनल
<iframe width="300" height="275" src="http://www.youtube.com/embed/bA4XUHbGh-c" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

लोकसत्ताच्या फेसबुक पेजवरील फोटो अल्बम

'सॅण्डी' संकट!

यश चोप्रा : ‘किंग ऑफ रोमान्स’

लोकसत्ता फेसबुक पेज - कव्हर फोटो

आणखी फोटो पाहण्यासाठी खालील लाईक बटणावर क्लिक करा

‘लोकसत्ता’चे विविध अ‍ॅप्स विनामुल्य डाऊनलोड करा-

वासाचा पयला पाऊस आयला

 


 

साप्ताहिक पुरवणी

लोकरंग (दर रविवारी)


चतुरंग
(दर शनिवारी)

 नवऱ्याकडून घरकामाचा पगार?

alt

 गरज शोधांची जननी

 एक उलट..एक सुलट : वेगळा.. वेगळा..

alt

 करिअरिस्ट मी : ..आणि समस्या ‘सायलेन्ट’ झाल्या

alt

 स्त्री समर्थ : उद्योगस्वामिनी

 बोधिवृक्ष : सूक्ष्मात वसते ब्रह्मांड

 गावाकडची चव : अंबाजोगाईची ‘वैष्णवी’ चव

alt

 आनंदाचं खाणं : अचपळ मन माझे..

alt

 ब्लॉग माझा : आयडिया लई भारी!

alt

 स्त्री जातक : आधी कळस मग पाया रे..!

alt

 अनघड अवघड : बोलायलाच हवं!


वास्तुरंग
(दर शनिवारी)

alt

 एक आस.. उभारीची!

alt

 फटाक्यांपासून इमारतीची सुरक्षा

alt

 घरसजावटीसाठी…
आणखी वाचा...

व्हिवा (दर शुक्रवारी

alt

 फुल टू कल्ला

alt

 कट्टा

alt

 एन्जॉय
आणखी वाचा...

करिअर वृत्तान्त (दर सोमवारी)

 ‘इंग्लिश-विंग्लिश’ :न्यूनगंडाच्या बुडबुडय़ाची गोष्ट
alt   सुट्टी आणि अभ्यास
alt  शिकवून कोणी शिकतं का?
आणखी वाचा...

अर्थवृत्तान्त (दर सोमवारी)

 विमा विश्लेषण : जीवन तरंग
 ‘अर्थ’पूर्ण : महागाईचा भस्मासूर
 गुंतवणूकभान : नव्या दमाचा शूर शिपाई
आणखी वाचा...

आजचे फोटो