कंपास व पट्टी.. : भाग १ Print

शुक्रवार, १९ ऑक्टोबर २०१२

‘आज जास्त आकडेमोड किंवा समीकरण वगरे न मांडता काहीतरी करूया का?’ नंदूने सुरुवातीलाच विचारले.
‘का बरं? आता तुझे पाढे पाठ आहेत, शाळेतली गणितं येतात, मार्कदेखील चांगले आहेत ना?’ मालतीबाईंनी विचारले.
‘हो, माझं गणित चांगलंच आहे, पण आजी, तू काहीतरी वेगळं इंटरेस्टिंग शिकवतेस ना, ते मला जास्त आवडतं.’ नंदूचं सर्टिफिकेट ऐकून बाई हसल्या. त्या म्हणाल्या, ‘आज आपण कंपास आणि पट्टी वापरून काय करता येतं ते पाहू या.’
‘पण आम्हाला अजून कंपास वापरायला शिकवला नाही.’ हर्षां म्हणाली.
‘वरच्या वर्गात वापरायचा असतो तो. वर्तुळ आणि त्याचे नियम शिकवतात, त्या वेळी कंपास वापरतात.’ सतीशने सांगितले, तेव्हा बाई म्हणाल्या, ‘पण आपण तो आधी वापरायला शिकलो, तर काही बिघडत नाही. तुझ्याजवळ आहे ना कंपास? पट्टी तर सगळ्यांकडे असेल.’
‘हो, फूटपट्टी नाहीतर निदान सहा इंचांची पट्टी सगळ्यांकडे असते. हा माझा कंपास.’ असं म्हणून सतीशने त्याचा कंपास काढला. शीतलनेही तिचा कंपास काढला. अशोकने त्याची कंपासपेटी आणली नव्हती, पण तो सगळ्या मुलांत मोठा असल्याने त्याला कंपास वापरण्याची सवय होती. कंपास कसा असतो, त्यात पेन्सिल कशी अडकवतात हे हर्षां व नंदू लक्ष देऊन पाहात होते. त्यांना ते दाखवताना बाई मनीषाला म्हणाल्या, ‘मनीषा, या दोघांनाही कंपास आणून दे आता. त्याचं टोक बोचणार नाही याची काळजी घ्याल ना रे?’
‘हो नक्की काळजी घेऊ. आता मला कात्रीदेखील वापरता येते.’ हर्षांने ग्वाही दिली.
‘मलासुद्धा!’ नंदू कसा मागे राहील?
‘कंपासमध्ये पेन्सिल नीट घट्ट बसवून त्याचं अणकुचीदार टोक एका बिदूंवर टेकवून धरायचं, ते न हलू देता पेन्सिलीचं टोक सावकाश गोल फिरवलं, की कसं सुंदर वर्तुळ येतं पाहा.’ बाईंनी काढलेलं वर्तुळ नंदू व हर्षां उत्सुकतेने पाहात होती. मोठय़ा मुलांना त्यात काही नवीन नव्हतं.
‘पाच-सहा वर्षांच्या मुलांना कागद कापायची कात्री, कंपास, अशा वस्तू वापरायला दिल्या पाहिजेत. अर्थात त्या कुणाला इजा न होऊ देता कशा वापरायच्या, सांभाळायच्या, हे नीट शिकवलं पाहिजे. आता तुम्हाला कंपास मिळाला, की घरी लहान-मोठी अनेक वर्तुळं काढून पाहा, त्यांची डिझाइन्स् बनवा, रंगवा, मजा करा.’ बाईंनी सांगितलेलं पटलंच त्यांना.
‘वर्तुळाच्या मध्यापासून परिघावरच्या कुठल्याही बिदूंपर्यंतचं अंतर सारखंच आहे, हे ध्यानात आलं का?’ असं विचारताच नंदू म्हणाला, ‘हो, ते अंतर म्हणजे टोचलेलं कंपासचं टोक अन ् पेन्सिलीचं टोक यातलं अतंर ना? ते आपण बदलतच नाही वर्तुळ काढताना.’
‘बरोबर आणि त्या अंतराला त्रिज्या म्हणतात.’ अशोकने सांगितले.
‘छान, म्हणजे कंपासचा उपयोग करून आपण एक त्रिज्या कंपासचं बोचणारं टोक व पेन्सिलीचं टोक यात घेऊन एका बिदूंवर टोक स्थिर ठेवून वर्तुळ काढू शकतो हे सर्वाना समजलं ना?’
‘हे तर सोपंच आहे!’ हर्षां म्हणाली.
‘आणि पट्टीने काय करतो आपण?’ असे बाईंनी विचारताच ‘पट्टीने सरळ रेषा काढतो, तिची लांबी मोजतो.’ सतीशचे उत्तर सगळ्यांना पटले.
‘कंपास आणि पट्टी घेऊन किती तरी सुंदर डिझाइन्स् बनवता येतात.’ मनीषा उद्गारली.
’   ’   ’
‘आपण आज गणितातल्या कुठल्या क्रिया या दोघांच्या मदतीने करता येतात ते पाहू.’ बाई त्यांचा बेत सांगू लागल्या. ‘समजा, आपल्या पट्टीवर इंच किंवा सेंटीमीटरच्या खुणा नाहीयेत. एक ठराविक एकक, म्हणजे इंच, सेंटीमीटर किंवा सोयीच्या वेगळ्याच एककाची लांबी दिलेली आहे, तर ती लांबी म्हणजे एक हा अंक मानून आपण मोठय़ा कागदावर असे कुठले कुठले अंक किंवा संख्या अचूकपणे दाखवू शकतो? फक्त आपला कंपास व पट्टी वापरायची आहे. पट्टीवर लांबीच्या खुणा नाहीत.’
आता सगळेच विचारात पडले. ‘मात्र पट्टी सरळ व पुरेशी लांब आहे. तिचा उपयोग करून आपण कुठलेही दोन बिंदू सरळ रेषेत जोडू शकतो, ती रेषा कुठल्याही दिशने लांब वाढवू शकतो.’ बाईंचं ऐकून शीतल म्हणाली, ‘कंपासमध्ये एक एककाचं अंतर पेन्सिल व बोचणारं टोक यात घेता येतं ना? मग मोठी सरळ रेषा घेऊन एक बिंदू शून्याच्या जागी घेऊन त्यावर कंपासचं टोक ठेवून पेन्सिल उजवीकडे रेषेला एक संख्येच्या लांबीवर छेदेल, तो बिंदू एक संख्या दाखवेल. मग एक संख्येवर टोक ठेवून तेवढय़ाच अतंरावर उजवीकडे दोन संख्येचा बिंदू मिळेल, असं करत जाऊ.’
‘असे उजव्या बाजूला धन पूर्णाक आणि डाव्या बाजूला ऋण पूर्णाक दाखवता येतील. संख्या रेषा अशीच काढतात ना?’ अशोकने विचारले.
‘बरोबर, असे पूर्णाक दाखवणारे रेषाखंड मिळतील आणि अपूर्णाक?  उदाहरणार्थ, अर्धा अपूर्णाक कसा दाखवाल? हे नंदू व हर्षां यांना जमणार नाही, पण शीतल व अशोकना येईल.’
‘हो, अब हा रेषाखंड असेल, तर त्याचा लंब दुभाजक काढता येतो आम्हाला.’
‘अब’च्या लांबीपेक्षा जास्त लांबीचं अंतर घेऊन एकदा ‘अ’वर व एकदा ‘ब’वर कंपासचं टोक ठेवून रेषेच्या वर व खाली असे चाप काढायचे, त्यांचे छेदन बिंदू जोडणारी रेषा ‘अब’ला लंब दुभाजक असते.’ असं म्हणत शीतलने खालील आकृतीचा भाग काढला.
’   ’   ’
‘आता इथे वरचा छेदन बिंदू ‘प’ तर खालचा ‘क’ आहे, त्यांना जोडणारी रेषा ‘अब’ ला ‘म’मध्ये छेदून दोन सारखे भाग करते, म्हणजे ‘अम’ची लांबी ‘अब’च्या लांबीच्या अर्धी आहे हे दिसतंय ना?’ बाई म्हणाल्या.
‘हे सिद्ध करायला नववी-दहावीची भूमिती लागते.’ अशोक म्हणाला.
 ‘सध्या आपण सिद्धतेचा विचार नाही करणार. पण ही कृती तर सगळ्यांना समजेल, नजरेला पटेल. सिद्धता शिकतील पुढे. आता दिलेल्या सरळ रेषेला रेषेबाहेर दिलेल्या बिंदूतून समांतर रेष काढता येते का?’ असे बाईंनी विचारताच अशोकने आकृतीत दिल्याप्रमाणे अब च्या पुढे ‘स’ हा बिंदू असा घेतला, की       अब = बस, मग ‘ब’वर आणि ‘स’वर कंपासचं टोक ठेवून ‘अप’ एवढं अंतर घेऊन चाप काढले, त्यांचा ‘न’ हा छेदन बिंदू व ‘प’ यांना पट्टीने जोडून सरळ रेषा काढली.
‘शाबास, ही रेषा ‘प’मधून जाते, ‘अब’ त्या सरळ रेषेला समांतर आहे.’
‘समांतर रेषा म्हणजे नक्की कशा असतात?’ नंदूच्या प्रश्नाला बाईंनी उत्तर दिले, ‘आपण सरळ रेषांचा विचार करतो आहोत. त्या दोन रेषा कुठल्याही बाजूला वाढवल्या तरी एकमेकींना भेटत किंवा छेदत नाहीत, त्यांना समांतर रेषा म्हणतात.’
‘म्हणजे आगगाडीच्या रूळांसारख्या का?’ नंदूच्या प्रश्नाला, ‘हो, छान उदाहरण दिलंस, शिवाय तुझ्या वहीत लिहिण्यासाठी आडव्या रेषा आहेत, त्याही समांतर आहेत. आता हर्षां व तू, सरळ व समांतर रेषा, वेगवेगळी वर्तुळं असं काढून चित्रं बनवा, रंगवा. मोठी मुलं कंपास व पट्टी वापरून कुठल्या संख्यांचे रेषाखंड काढता येतात ते शोधतील. पुढल्या वेळेला आपण या पद्धतीने काय काढता येतं, काय येत नाही ते पाहू.’ असं म्हणून बाईंनी निरोप घेतला.